Federpendel - Bewegungsgleichung in Winkel ausdrücken.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie ein Pendel der Masse \(m,\) das an einem Faden der Lange \(l\) aufgehangt sei. Sei \(\varphi\) der
Auslenkungswinkel bezuglich der Ruheposition des Pendels.

a)
a1) Stellen Sie die Bewegungsgleichung des Pendels fur \(\varphi(t)\) auf und losen Sie sie fur den Fall  \(\varphi << 1\)
a2) Wie gross ist die Schwingungsfrequenz des Pendels?
a3) Welche physikalische Grosse lasst sich mit einem Pendel bequem messen?

Problem/Ansatz:

Ich kriege die Kraft die in Bewegungsrichtung wirkt als 

\( F_G = -mg*sin(\varphi)\)  =:(1)

Dann stelle ich mir die Frage, welche Beschleunigung denn in Bewegungsrichtung wirkt.
Deswegen teile ich die Gleichung (1) durch \(m\) 
und erhalte:

\(a_{||} = -g*sin(\varphi)\) =:(2).

Es gilt, dass $$\varphi << 1.$$

So bekomme ich:

\(a_{||} = -g*\varphi(t)\) = \(\varphi(t)^{''} \)=:(3).


Am liebsten würde ich nun die Gleichung (3) zwei mal integrieren um \(\varphi(t)\) zu bekommen. 
Aber hier hört mein Wissen auf. 

Danke für jede Hilfe !  


Bild:

 

Answer 1

Hallo

 du hast ja fast schon alles, nur a=s''(t)=L*φ''(t) fehlt dir noch

dann hast du für φ<<1 : φ''=-g/L*φ

das ist eine einfache Differentialgleichung, denn du weisst sicher dass für f(t)=A*sin(at) gilt f''(t)=-a^2*f(t), ebenso f(t)=A*cos(at) gilt f''(t)=-a^2*f(t)

also kannst du die allgemeine Lösung hinschreiben, die 2 Konstanten enthält, die erst durch die  hier nicht gegebenen Anfangsbedingungen f(0) und f'(0) festgelegt werden.

Gruß lul

Comments

Also ich habe missachtet, dass die Bewegungsbahn eine gekrümmte Bahn ist das das Federpendel zurücklegt. 

Folgende Um-Überlegungen haben mich dann dazu gebracht einfach generell zu sagen, dass die Beschleunigung in einer Kreisbewegung so zu finden ist. 

a_K = d/dt  (v)          | Im Kreis gilt v = w*r 
       = d/dt  (w*r)       | r = l 
       = d/dt  (w*l)        | l ist konstant
       = l * d/dt (w)       | Ableitung von omega gibt alpha
       = l * α

=> \(a_K = l*\varphi^{''}\)

Wenn ich das jetzt mit der Masse m multipliziere erhalte ich die Kraft die in der Richtung wirkt, in der der Körper beschleunigt wird. 

=> \(m*a_K = m* l * \varphi^{''}\)

Nun habe ich zwei Kräfte und es gilt:

\( F_{G||} = m*a_K \)
<=> \(-mg*\varphi(t) = m* l * \varphi^{''}\) | :m
<=> \(-g*\varphi(t) = l * \varphi^{''}\) | :l
<=> \(-g/l*\varphi(t) = \varphi^{''}\)

So erhalte ich die Differentialgleichung: 
\(-g/l*\varphi - \varphi^{''} = 0 \)


Wie Löse ich die ? Wie kommt der Autor im Buch auf:

Diese Differentialgleichung hat die Losung
\(\varphi(t)=A \sin (\omega t+\delta)\)

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denn du weisst sicher dass für f(t)=A*sin(at) gilt

Das ist das einzige was ich nicht einsehe,

wieso hat eine DGL der Form 

λ*f'' - λ*f =  0

Die Lösung 

f(t) = A*sin(ω*t) 

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die Dgl λ*f'' - λ*f =  0 also f''=-f hat die allgemeine Lösung f=A*sin(t)+B*cos(t) das kannst du durch einsetzen verifizieren. die Dgl f''=-g/L*f hat die Lösung f(t)=A*sin(√g/L)*t)+B*cos(√g/L)*t) einsetzen und bestätigen! A*sin(√g/L)*t)+B*cos(√g/L)*t)= C*sinA*sin(√g/L)*t+ψ)

dann hat du die 2 Konstanten C und ψ um die Anfangsbedingungen zu erfüllen.

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Wow, Perfekt, vielen Dank.