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Form einer Grenzfläche zwischen zwei optischen Medien, die Kugelwellen in ebene Wellen transformiert
a) Diskussion der Form der Grenzfläche
In einem optischen Medium mit einem höheren Brechungsindex \(n_1\) als dem des angrenzenden Mediums \(n_2\), von dem eine Punktquelle Q Kugelwellen aussendet, muss die Grenzfläche so geformt sein, dass sie die divergierenden Wellenfronten in ein parallel verlaufendes Bündel von Wellenfronten transformiert, d.h., sie wandelt die Kugelwellen in ebene Wellen um. Qualitativ muss die Grenzfläche auf der Seite von Medium mit \(n_1\) konvex sein, um die divergierenden Wellenfronten so zu "sammeln" oder zu "fokussieren", dass sie nach dem Durchtritt durch diese Grenzfläche als ebene Wellen erscheinen.
Die Form dieser Grenzfläche muss also insbesondere auf der Q-Seite (höherer Brechungsindex) konkav sein, um die Punkte der Wellenfronten so zu brechen, dass ihre Fortpflanzungsrichtungen hinter der Grenzfläche parallel ausgerichtet sind. Da Wellenfronten bei höherem Brechungsindex langsamer sind, neigen die Wellenfronten dazu, zum Lot hin gebrochen zu werden, wenn sie aus dem Medium mit \(n_1\) in \(n_2\) übertreten. Die spezifische Form der Grenzfläche ermöglicht es, dass, unabhängig von der Position auf dieser Fläche, der Wegunterschied der Wellenfronten nach dem Durchgang gleich ist, was zu einer planaren (ebenen) Wellenfront führt.
b) Anwendung des Fermatschen Prinzips
Das Fermatsche Prinzip besagt, dass der Weg, den das Licht zwischen zwei Punkten nimmt, der Weg ist, für den die benötigte Zeit minimal ist. Um zu zeigen, dass die Grenzfläche ein Rotationsellipsoid ist, mit der Exzentrizität \(e = n_{21} = \frac{n_2}{n_1}\), wenn der Punkt Q mit einem der Brennpunkte des Ellipsoids zusammenfällt, nutzen wir diese Prämisse.
Ein Ellipsoid mit zwei Brennpunkten \(F_1\) und \(F_2\) hat die Eigenschaft, dass für jeden Punkt \(P\) auf der Oberfläche die Summe der Distanzen zu den zwei Brennpunkten \(d_1 + d_2\) konstant ist. Wenn \(F_1\) die Position der Punktquelle \(Q\) ist und \(F_2\) ein Punkt ist, von dem aus die Wellenfront als ebene Welle erscheint, müssen alle Lichtwege von \(Q\) nach \(F_2\) über Punkte \(P\) auf der Grenzfläche gleich lang sein für die Zeit, die minimiert wird.
Im Fall der Brechung zwischen zwei Medien mit Brechungsindizes \(n_1\) und \(n_2\) ist der effektive Weg, den das Licht zurücklegt, durch \(n_1 d_1 + n_2 d_2\) gegeben, wobei \(d_1\) die Distanz im Medium mit \(n_1\) und \(d_2\) die Distanz im Medium mit \(n_2\) ist. Das Fermatsche Prinzip impliziert, dass diese effektive Distanz für alle Wege über die Grenzfläche hinweg konstant sein muss.
Für ein Rotationsellipsoid, das diese Anforderung erfüllt, ist die Bedingung erfüllt, wenn \(n_1 d_1 = n_2 d_2\), da dies die Bedingung für gleichbleibende Phase bzw. gleichbleibende optische Weglänge für alle Strahlen von \(Q\) nach dem Durchqueren der Grenzfläche darstellt. Dadurch wird gewährleistet, dass die Wellenfronten nach dem Passieren der Grenzfläche eben sind. Die Exzentrizität \(e\) des Ellipsoids, die definiert ist als \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\) (mit \(a\) als der großen Halbachse und \(b\) als der kleinen Halbachse des Ellipsoids), entspricht dem Verhältnis der Geschwindigkeiten (bzw. dem inversen Verhältnis der Brechungsindizes) \(n_{21}=\frac{n_2}{n_1}\), da dies die notwendige Bedingung ist, damit die Summe der effektiven optischen Wege \(n_1 d_1 + n_2 d_2\) für alle Strahlen von \(Q\) zum Ellipsoid und dann parallel zur Achse des Ellipsoids konstant ist.
Zusammengefasst zeigt die Anwendung des Fermatschen Prinzips, dass die Grenzfläche, die Kugelwellen in ebene Wellen umwandelt, wenn der Punkt Q mit einem der Brennpunkte eines Rotationsellipsoids zusammenfällt, tatsächlich die Form eines Rotationsellipsoids mit der spezifizierten Exzentrizität \(e=n_{21}\) haben muss.
