Aloha :)
Ich würde die Lorentz-Kraft \(F_L\) nicht explizit ausrechnen, denn nach ihr ist nicht gefragt. Die Aufgabe fragt nach dem Bahnverlauf des Elektrons und nach seiner Geschwindigkeit. Die Lorentz-Kraft ist \(\vec F_L=q\,\vec v\times\vec B\), d.h. die Lorentz-Kraft \(F_L\) steht senkrecht auf der Geschwindigkeit \(\vec v\) und auf dem Magnetfeld \(\vec B\). Dadurch wird das Elektron auf eine Kreisbahn gezwungen. Wenn sich ein Teilchen der Masse \(m\) mit der Geschwindigkeit \(v\) auf einer Kreisbahn mit Radius \(r\) bewegt, wirkt die Zentripetal-Kraft, \(F_Z=\frac{mv^2}{r}\). Hier wirkt die Lorentz-Kraft als Zentripetal-Kraft \(F_L=F_Z\), sodass gilt:
$$\frac{mv^2}{r}=F_Z=F_L=qvB\quad\Rightarrow\quad\frac{mv^2}{r}=qvB\quad\Rightarrow\quad\underline{r=\frac{mv}{qB}}$$Die Geschwindigkeit \(v=10\,000\,km/s=10^7\,m/s\) des Elektrons bleibt ungeändert, es fliegt nur nicht mehr in gerader Richtung, sondern auf einer Kreisbahn. Der Radius \(r\) dieser Kreisbahn beträgt:
$$r=\frac{mv}{qB}=\frac{9,11\cdot10^{-31}kg\cdot10^7\,m/s}{1,602\cdot10^{-19}C\cdot0,01\,T}=5,69\cdot10^{-3}m=5,69\,mm$$Die Zeit \(T\) für einen Umlauf beträgt daher:
$$T=\frac{2\pi r}{v}=\frac{2\pi\cdot5,69\cdot10^{-3}m}{10^7m/s}=3,58\cdot10^{-9}\,s=3,58\,ns$$
