Adiabatische / Isotherme Expansion und Adiabatische / Isotherme Kompression

Question

Aufgabe:

Ein Mol eines idealen Gases soll ausgehen vom Zustand p1=6bar, V1 = 0,462 dm^3 folgenden Prozess durchlaufen:

I) Adiabatische Expansion auf V_2 = 1,358 dm^3 bei p_2 = 1,325 bar

II) Isotherme Expansion auf V_3 = 1,8 dm^3 bei p_3 = 1bar

III) Adiabatische Kompression auf V_4 = 0,612 dm^3 bei p_4 = 4,5137

IV) Isotherme Kompression zurück zum Ausgangspunkt.

a) Bestimmen Sie den Isentropenexponenten k

b) Berechnen Sie die Volumenarbeit und die Entropie der vier Schritt

Problem/Ansatz:

Ich verstehe das ganze irgendwie nicht so ganz.

Also die a) war denke ich in Ordnung:

aus

$$p_1 \cdot V_1 ^k = p_2 \cdot V_2 ^k$$

habe ich den Koeffizienten k errechnet:

$$k = \frac{ln(\frac{p_2}{p_1})}{ln(\frac{V_1}{V_2})} = 1,37$$

Bei der b) habe ich Probleme.

Ich weis, dass ich die Arbeit eines adiabatischen Prozesses so berechnen kann:

$$\delta W =- \frac{n \cdot R \cdot T}{V} \cdot dV = n \cdot c_v \cdot dT  $$

Mein Problem ist hier, dass ich nicht weiß wie sich die einzelnen Größen ändern:

$$\delta W =- \frac{n \cdot R \cdot T}{V} \cdot dV$$ Dafür fehlt mir die Information über T. Welche Temperatur T benötige ich hier? Wie errechnet sich diese?

und

$$\delta W == n \cdot c_v \cdot dT $$ Darf ich hier einfach die Anfangs- und Endtemperaturn aus den idealen Gasgleichungen berechnen?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Adiabatische / Isotherme Expansion und Adiabatische / Isotherme Kompression

Beginnen wir mit Teil a) der Aufgabe, in dem der Isentropenexponent \(k\) bestimmt werden soll.

a) Bestimmen des Isentropenexponenten \(k\)

Du hast bereits den Isentropenexponenten \(k\) durch die folgende Formel korrekt berechnet:

\( k = \frac{\ln\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}{\ln\left(\frac{V_1}{V_2}\right)} = 1,37 \)

Dies basiert auf der adiabatischen Zustandsgleichung \(p_1V_1^k = p_2V_2^k\), die du für die Expansion korrekt angewendet hast.

b) Berechnen der Volumenarbeit und Entropie

Die Berechnung der Volumenarbeit und Entropie für die vier Prozesse setzt das Wissen über die thermodynamischen Grundgleichungen voraus. Hier eine Zusammenfassung der erforderlichen Berechnungen für jeden Schritt:

I) Adiabatische Expansion

Für einen adiabatischen Prozess, bei dem keine Wärmeübertragung stattfindet (\(Q = 0\)), kann die Arbeit direkt aus der adiabatischen Zustandsgleichung abgeleitet werden. Die Arbeit \(W\) ist gegeben durch:

\( W_{adiabatisch} = \frac{n \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)}{1 - k} \)

wobei \(c_v\) die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen ist. Wir müssen die Temperaturen \(T_1\) und \(T_2\) aus den gegebenen Daten ermitteln.

Ohne direkte Temperaturangaben kannst du \(T_1\) und \(T_2\) über die ideale Gasgleichung berechnen: \(pV = nRT\).

II) Isotherme Expansion

Bei der isothermen Expansion bleibt die Temperatur konstant (\(T = T_{konstant}\)). Die Arbeit \(W\) berechnet sich als:

\( W_{isotherm} = nRT \ln\left(\frac{V_3}{V_2}\right) \)

III) Adiabatische Kompression

Die Berechnung ist ähnlich dem ersten Schritt, verwendet aber die Volumina und Drücke des Kompressionsprozesses.

IV) Isotherme Kompression

Die Arbeit hierbei ist wieder eine Funktion des Logarithmus des Verhältnisses der Volumina. Da sich der Prozess bis zum Anfangspunkt zurückkehrt, wäre die anfängliche und endgültige Temperatur identisch.

Berechnung der spezifischen Arbeit und Entropie für jeden Schritt:

Für die spezifische Arbeit in den adiabatischen Schritten benötigen wir Temperaturen, die sich aus der idealen Gasgleichung \(pV = nRT\) ergeben. Da \(n = 1\) mol gegeben ist und \(R = 8,314 \frac{J}{mol \cdot K}\), elaubt dies die Berechnung von \(T_1\) und entsprechend \(T_2\), \(T_3\), und \(T_4\), indem man die Zustandsgleichung für ideale Gase für jeden Zustand anwendet.

Entropieänderungen für adiabatische Prozesse sind null (\(\Delta S = 0\)), da kein Wärmeaustausch stattfindet. Bei isothermen Prozessen ist die Entropieänderung nicht null und kann mit der Formel \(ΔS = nR\ln\left(\frac{V_f}{V_i}\right)\) für Expansion oder \(ΔS = nR\ln\left(\frac{P_i}{P_f}\right)\) für Kompression berechnet werden, je nachdem, welche Zustandsgrößen konstant bleiben und welche sich ändern. Da diese Berechnungen eine präzise Kenntnis der Temperaturen in den verschiedenen Schritten erfordern und wir die spezifische Wärmekapazität \(c_v\) für Berechnungen benötigen, die ebenfalls von der Natur des Gases abhängig sind, ist für die konkrete Berechnung der Arbeit und Entropieindrehung mehr Information erforderlich, etwa die Art des idealen Gases (um \(c_v\) oder \(R\) korrekt anzusetzen) und Temperaturen für alle relevanten Zustände.

Zusammenfassend ist das generelle Vorgehen zur Lösung von Teil b) skizziert, aber die spezifischen Berechnungen hängen von zusätzlichen Informationen ab, die in der Aufgabenstellung nicht direkt gegeben wurden.