Unterschied Verschiebungsvektor und Zurückgelegte Strecke delta s - Ein Beispiel?

Question

Der Verschiebungsvektor ist wie folgt definiert: $$ \Delta \boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}\left(t_{2}\right)-\boldsymbol{r}\left(t_{1}\right). $$

Die zurückgelegte Strecke aber so: $$ \Delta s=\int_{\Gamma}|\mathrm{d} \boldsymbol{r}|=\int_{\Gamma} \sqrt{(\mathrm{d} x)^{2}+(\mathrm{d} y)^{2}+(\mathrm{d} z)^{2}} $$

Frage:
Ich weiss nicht, in wie fern die zurückgelegte Strecke relevant ist.
Aber wenn ich die Definition richtig interpretiere,  nimmt man vom Betrag des Ortsvektors (oder was ist |dr| ?) das Integral wahrscheinlich vom Anfangspunkt bis Endpunkt der Strecke. Hier beginnt das Integral bei Gamma aber Gamma ist die Bahnkurve selbst.

(1) Kann jemand Klarheit schaffen und evt ein Beispiel machen?
(2) Von wo bis wo integriere ich?
(3) Was integriere ich, also was ist |dr| ? 
Ist
dr = Δr = r(t₂)-r(t₁),
falls JA, dann integriere ich den Betrag des Verschiebungsvektors vom Punkt 1 bis nach Punkt 2 und erhalte dann die die zurückgelegte Strecke Δs.
(4) Kann jemand ein einfaches Beispiel machen ?

Answer 1

Hallo

1. das Integral über |dr|=|r'(t)|dt ist der zurückgelegte Weg, nicht die zurückgelegte "Strecke"  auf der Bahnkurve r(t) (r Vektor)

Δr=r(t2)−r(t1) ist eine Sehne  dieser Kurve. Beispiel du bewegst dich auf einem Kreis um 0 mit Radius R dann hast du r(t)=(R*cos(t),R*sin(t)) z. B. 1/4  Kreis also t1=0 t2=\pi/2

 dann ist r(t2)-r(t1) =(R,0)-(0,R) und der Betrag R*√2,  der Weg aber $$\int_{0}^{\pi/2}|r'(t)dt=\int_{0}^{\pi/2} \sqrt{R^2*(-sin^2(t)+R^2*cos^2(t)}dt=\int_{0}^{\pi/2} R dt=R*\pi/2$$

also wirklich ein viertel Kreis . wenn man von dr spricht meint man nicht das mikroskopische Δr sondern das für t2 gegen t1 .

"Hier beginnt das Integral bei Gamma" ist eine eigenartige Aussage, du meinst vielleicht wenn man für die Kurve γ(t) statt wie ich r(t) schreibt, das Integral über γ was aber nichts anderes ist als das Integral über |γ'(t)| vom Anfangs zum Endpunkt der Kurve.

(zur Veranschaulichung: du summierst über kleine Tangentenstückchen der Kurve,, und machst die beliebig kurz.)

Gruß lul

Comments

1. das Integral über |dr|=|r'(t)|dt ist der zurückgelegte Weg. auf der Bahnkurve r(t) (r Vektor)

achso, 
gilt dann aber dass dr = r'(t) ist ? 
Wenn ja dann gilt:

|dr| = |r'(t)| = |v(t)| 

Und in diesem Fall nehme ich das Integral von der Geschwindigkeit v(t) und bekomme so die Fläche unter dieser Kurve. Und die Fläche ist dann der Zurückgelegte Weg. 

Insgesamt bedeutet dann dr die Ableitung von r (Also die Ableitung des Ortsvektors)

Und  Δr = r(t₂)- r(t₁) .

Oder ? 

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 versuch posts genau zu lesen, r'=dr ist Unsinn, r'=dr/dt

auch "Insgesamt bedeutet dann dr die Ableitung von r (Also die Ableitung des Ortsvektors)" ist unter deiner Würde, denn wie r' definiert ist weisst du eigentlich!

die Kurve ist im 2 oder 3 d Raum , die Fläche unter der Geschwindigkeit soll was sein? die Fläche unter der Kurve ist auch sinnlos, eben hatte ich gezeigt, dass  der Weg auf eine Kreis = die Bogenlänge ist, die nichts mit ner Fläche zu tun hat!

ich hatte dir versucht anschaulich zu sagen, was das Integral bedeutet, sicher keinerlei Fläche.

Rückfragen zu posts sind ok,  man muss nicht gleich alles verstehen, aber zu wenig Zeit auf das lesen und Verstehen zu verbringen ist gegen mich als Helfer nicht fair.