Propagation von Licht

Question

Hallo stehe bei folgender Aufgabe total auf dem Schlauch.

Aufgabe:

Betrachten Sie einen Lichtstrahl, der sich durch ein ebenes, inhomogenes Medium mit dem Brechnungsindex n(x) = λx bewegt.
Hierbei bezeichnet λ einen reellen Parameter.

a.) Wie lautet das Funktional für die Laufzeit des Lichtstrahls zwischen zwei Punkten ?

b.) Welche funktionale Gestalt haben die Bahnkurven des Lichts in diesem Medium ?

Hinweis : es gilt ∫ 1/ (x²-a² ) dx  = Arcosh (x/a) und Arcosh(x) ist die Umkehrfunktion von cosh(x).

Problem/Ansatz/Niveau:

a.) Für die Bahn zwischen den zwei Punkten x(t₁) und x(t₂) gilt :   t [X] = 1/c * ∫   λ*x(t) * (c²+ ( x´(t) ²))^(1/2)  dt  mit den integrals grenzen von t₁ bis t₂  

b.) Jedoch weiß ich überhaupt nicht ich die b.) machen soll / angehen soll. Nur wegen des Hinweises komme ich drauf dass es sich um gekrümmte Bahnkurven handeln muss aber das war es schon.

Liebe Grüße

Kevin

Comments

 wie du auf dein t(x) kommst verstehe ich nicht, aber da stet ja auch x(t), x'(t) drin  drin das nicht gegeben ist sondern nur n(x) wie hängt denn c von x ab , steht da nirgends was genaueres über lambda, für x=0 n=0 ist für mich eigenartig.

ist x auch die Ausbreitungsrichtung oder senkrecht dazu?

Answer 1

Hallo,

jetzt heißt es: Varationsrechnung machen, also Euler-Lagrange Gleichungen aufstellen und lösen.

Hier auf der Seite wird es allgemein hergeleitet:

http://www.dartmouth.edu/~phys44/lectures/Chap_1.pdf

Das gibt dann:

n(x)=√(1+x'^2)

λx=√(1+x'^2)

√(λ^2 x^2-1)=x'=dx/dt

dt=dx/√(λ^2 x^2-1) und jetzt kannst du beide Seiten integrieren, dabei verwendest du rechts das vorgegebene Integral (vorher noch λ^2 x^2=u^2 substituieren)