Zustandsänderung eines idealen Gases

Question

Aufgabe:

Eine bestimmte Menge eines idealen Gases nehme bei einem Druck p₀ das Volumen V₀ ein.Das Gas soll nacheinander folgenden Zustandsänderungen unterzogen werden:
(I)  einer isobaren Erwärmung bis zur Volumenverdopplung (p= konst.)
(II)  einer weiteren, isochoren Erwärmung bis zur Druckverdopplung (V= konst.)
(III)  einer anschließenden adiabatischen Expansion zurück zur Ausgangstemperatur.

a) Man berechne, welche Wärmemenge dem Gas während dieser Prozesse insgesamt zugeführt wurde, welche Arbeit das  Gas dabei verrichtet und wie sich seine innere Energie geändert hat. Der Adiabatenexponent κ des Gases sei bekannt.

b) Bedeutet die Rückkehr zur Ausgangstemperatur, dass ein Kreisprozess durchgeführtwurde? Welche Zustandsänderung fehlt dazu evtl. noch?

Ansatz:

a)

Für Q_I habe ich bereits 

$$ dQ_{I}= \frac{f}{2}*N*k_{B}*dT $$

Und für Q_III

$$ dQ_{III} = 0$$ da dS=0.

Bei Q_II habe ich leider keine Ahnung.

Für die Arbeit habe ich

$$ dW_{I} = -p dV = - \frac{R*T}{V} *dV$$
$$ dW_{II} = 0 $$ da  dV=0

Bei dW_III rätsel ich aber leider wieder.

Die Änderung der inneren Energie ist offensichtlicherweise dann

dU = δQ + δW

b)
Rückkehr zur Ausgangstemperatur reicht nicht, da auch Volumen und Druck auf ihre Ursprungswerte zurück kommen müssen, soweit ich das verstanden habe.

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Zustandsänderung eines idealen Gases

a) Wärmemenge, Arbeit und Änderung der inneren Energie

Beginnen wir mit der Berechnung der Wärmemenge (\(Q\)), der Arbeit (\(W\)) und der Änderung der inneren Energie (\(dU\)) für die drei Prozesse.

(I) Isobare Erwärmung bis zur Volumenverdopplung (\(p = konst.\))

Für die Wärmemenge \(Q_I\), die dem Gas zugeführt wird, können wir die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck (\(C_p\)) verwenden. \(Q_{I} = mC_{p}\Delta T\), wobei \(m\) die Masse des Gases und \(\Delta T\) die Temperaturänderung bedeutet. Allerdings wurde der Ansatz für \(Q_I\) anders angegeben, weshalb wir annehmen, dass die Formel für ein ideales Gas mit der kinetischen Theorie in Verbindung gebracht wurde. Doch üblicherweise verwendet man für eine makroskopische Berechnung die Gleichung \(Q_{I} = nC_{p}\Delta T\), wobei \(n\) die Stoffmenge bedeutet. Da keine spezifischen Werte gegeben sind, gehen wir zur Arbeit über.

Für \(W_{I}\): \(W_{I} = p\Delta V\), da bei konstantem Druck gilt. Da das Volumen sich verdoppelt, kann man auch schreiben: \(W_{I} = p(V_{2} - V_{0}) = pV_{0}\), da \(V_{2} = 2V_{0}\).

(II) Isochore Erwärmung bis zur Druckverdopplung (\(V = konst.\))

Für \(Q_{II}\), die während der isochoren Erwärmung zugeführte Wärmemenge, verwenden wir die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen (\(C_v\)). Wir erhalten: \(Q_{II} = nC_{v}\Delta T\), wobei \(\Delta T\) hier ebenfalls die Temperaturänderung ist. Bei isochorer Erwärmung gilt \(W_{II} = 0\), da das Volumen konstant bleibt und keine Volumenarbeit verrichtet wird.

(III) Adiabatische Expansion zur Ausgangstemperatur

Für \(Q_{III}\) gilt, dass keine Wärme übertragen wird (\(Q_{III} = 0\)), da es sich um eine adiabatische Änderung handelt.

\(W_{III}\) kann über die Änderung der inneren Energie oder über die Adiabatengleichung berechnet werden, doch ohne spezifische Werte ist es komplex, einen präzisen Wert für \(W_{III}\) anzufordern. Stattdessen beachten wir das Prinzip, dass bei einer adiabatischen Expansion die Arbeit auf Kosten der inneren Energie verrichtet wird.

Die Änderung der inneren Energie \(dU\) für jeden Prozess ist durch die Beziehung \(dU = Q + W\) gegeben, aber in der Thermodynamik gilt allgemein \(dU = Q - W\), wenn \(W\) die vom System verrichtete Arbeit ist. \(dU\) kann auch direkt über \(nC_{v}\Delta T\) berechnet werden (beachten Sie die Konventionen zu Arbeit und Wärme).

b) Kreisprozess und fehlende Zustandsänderung

Die Rückkehr zur Ausgangstemperatur allein impliziert nicht zwangsläufig einen Kreisprozess. Ein thermodynamischer Kreisprozess verlangt, dass das System zu seinem Ausgangszustand in allen Zustandsgrößen (Druck, Volumen, Temperatur) zurückkehrt. In diesem Beispiel wurden Volumen und Druck nach den Prozessen I und II geändert und nicht explizit erwähnt, dass sie nach Prozess III zu ihren Ausgangswerten zurückgekehrt sind, obwohl die Ausgangstemperatur erreicht wurde. Für einen vollständigen Kreisprozess müssten Druck und Volumen ebenfalls auf ihre ursprünglichen Werte zurückgeführt werden, was in den beschriebenen Schritten nicht ausdrücklich erwähnt wurde. Eine isotherme Kompression wäre notwendig, um den Zustand in Bezug auf alle Zustandsgrößen zurück zum Anfangspunkt zu bringen, wodurch ein vollständiger Kreisprozess erreicht würde.