Federkonstante , Auslenkung,Periodendauer berechnen

Question

Hallo ,

Ein Körper mit der Masse 100g ist an einer Feder befestigt und schwingt reibungsfrei um die Nullage. Er bewegt sich dabei in 60s vierzigmal hin und her. Die beiden Umkehrpunkte sind 18cm voneinander entfernt.

1. Berechne die Federkonstante der benutzten Feder
2. Stelle  die Schwingungsgleichung auf, wenn der Körper zu beginn am (positiven)Umkehrpunkt freigelassen wird
3. Berechne die Auslenkung nach 5s und nach 17,5 s
4. Wie ändert sich die Periodendauer, wenn eine andere Feder mit doppelter Federkonstante benutzt

Answer 1

geg:

m = 100 g = 0,1 kg

Anzahl der Schwingungen = 40

Dauer der 40 Schwingungen = 60 s

Frequenz f = Anzahl der Schwingungen/Dauer der 40 Schwingungen = 40/(60 s) = 0,67 Hz

zu 1)

Schwingungsdauer der Federschwingung T = 2*π*√(m/k) , k = Federkonstante

Mit T = 1/f folgt

k = (2*π*f)²*m

Mit f = 0,67 Hz und m = 0,1 kg -> k = 1,75 N/m

zu 2)

Schwingungsgleichung

Ansatz: m*a = - k*x   -> m * d²x/dt² + k*x = 0

mit Kreisfrequenz ω = √(k/m) folgt

m * d²x/dt² +ω² * x = 0  Das ist eine Differentialgleichung 2. Ordnung

Als Lösung der vorgenannten Gleichung ergibt sich x(t) = A*cos(ω*t + φ₀),  φ₀ die Phasenverschiebung

zu 3)

x(t) = A*cos(ω*t + φ₀)

φ₀ = 0

A = 0,18 m bei t = 0 s

ω = √(k/m) = √((1,75 N/m)/(0,1 kg)) = 4,18 1/s = 4,18 Hz

-> x(t = 5 s) = 0,18 m * cos(4,18 Hz * 5 s + 0) = 0,18 m * cos(20,9) = 0,168 m

-> x(t = 17,5 s) = 0,18 m * cos(4,18 Hz * 17,5 s + 0) = 0,18 m * cos(73,15) = 0,052 m

zu 4)

Periodendauer oder Schwingungsdauer T = 2*π*√(m/k)

Wenn k verdoppelt wird und alles andere in der Gleichung gleich bleibt,

-> T_neu  = Konstante  *√(1/2) ≈  0,7*Konstante -> T wird kleiner, aber nicht um die Hälfte

Comments

Vielen Dank !

2) verstehe ich jedoch nicht . was bedeuten die ganzen Zeichen ?

Kann dies auch einfacher gelöst werden ?

LG

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welche Zeichen sind dir unklar?

allgemein hat die Schwingungsgleichung zwei Bestandteile:

Einen Anteil, der die Amplitude (A) beschreibt und ein Anteil, der den periodischen Charakter (cos oder sin) des Vorgangs beschreibt.

Wenn man hier oben beginnt, ist die Amplitude positiv und der periodische Charakter folgt einer cos-Funktion, da bei t = 0 s die maximale positive Amplitude vorliegt.