Hallo,
Man berechne zunächst die Spannung \(U_x\) und die Leistung \(P(x)\), die am Widerstand \(R_x\) abfällt:
$$R_x= x \cdot R_0 \\ U_x = \frac{R_x}{R_x + R_0} U_{Ges} = \frac{x}{x+1} U_{Ges}\\ P(x) = U_x \cdot I = U_x \cdot \frac{U_x}{R_x} = \frac{U^2_x}{R_x} \\ \space = \frac{x^2}{x R_0 (x+1)^2} U^2_{Ges} = \frac{U^2_{Ges}}{R_0} \cdot \frac{x}{(x+1)^2}$$ Das sollte bis hierher nachvollziehbar sein ... sieht aber noch nicht so aus, wie in der Aufgabestellung! Ich konzentriere mich jetzt auf den folgenden Ausdruck
$$\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{x}{x^2+2x+1} = \frac{1}{x+2+\frac1x} \\ \quad = \frac{1}{4 + (x - 2 + \frac1x)} = \frac{1}{4 + (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})^2}$$ Diese Operation dient wohl lediglich dazu, arme Studierende zu erschrecken!
Der Wirkungsgrad bezieht sich auf die Gesamtleistung \(P_{Ges}\)
$$P_{Ges} = \frac{U_{Ges}^2}{R_0 + R_x} = \frac{U_{Ges}^2}{R_0 (1+x)} $$ Damit ist (und jetzt benutze ich für \(P(x)\) den Ausdruck aus meiner Antwort!):
$$\eta = \frac{P(x)}{P_{Ges}} = \frac{U^2_{Ges}}{R_0} \frac{x}{(x+1)^2} \cdot \frac{R_0}{U^2_{Ges}} \cdot \frac{x+1}{1} \\ \quad = \frac{x}{x+1} = \frac{x+1-1}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1}$$
Falls etwas nicht klar ist, so frage noch mal nach.
