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a) Gleichgewichtsbedingungen und Systemmatrix
Für die statische Analyse eines Tragwerks sind üblicherweise drei Gleichgewichtsbedingungen erforderlich, die sich aus den allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen eines starren Körpers ableiten:
1. Summe aller horizontalen Kräfte = 0
2. Summe aller vertikalen Kräfte = 0
3. Summe aller Momente um einen beliebigen Punkt = 0
Da keine Abbildung vorhanden ist, nehme ich eine typische Anordnung der Kräfte \(F\) und \(G\) an, bei der ein Balken horizontal ausgerichtet ist und die Kräfte \(F\) und \(G\) vertikal wirken. Die Pendelstützen stützen den Balken an unterschiedlichen Punkten und werden durch die Winkel \(\alpha\), die sie mit der Vertikalen bilden, charakterisiert.
Die Gleichung für die horizontalen Kräfte kann anhand der Projektion der Stabkräfte in die horizontale Achse aufgestellt werden, wobei die Stabkräfte von den Winkeln \(\alpha\) beeinflusst werden.
Die Gleichung für die vertikalen Kräfte beinhaltet ebenfalls die Projektion der Stabkräfte in die vertikale Achse sowie die externen Lasten \(F\) und \(G\).
Die Momentengleichung wird in der Regel um einen Punkt aufgestellt, der günstig wählt ist, oft ein Punkt, an dem mehrere Unbekannte angreifen, um die Gleichung zu vereinfachen.
Die spezifische Form der Gleichungen und die Systemmatrix hängen stark von den Anordnungen der Stäbe und den Angriffspunkten der Lasten ab, die ohne eine Abbildung schwer genau zu definieren sind.
b) Statische Ausnahmefälle für Winkel \(\alpha\)
Statische Ausnahmefälle treten auf, wenn die Systemmatrix nicht invertierbar ist, was bedeutet, dass keine eindeutige Lösung für die Kräfte in den Pendelstützen existiert. Dies geschieht typischerweise, wenn die Stäbe so ausgerichtet sind, dass sie keine stabile, steife Konfiguration bilden. Ein klassisches Beispiel ist, wenn alle Stäbe parallel sind oder wenn ihre Wirkungslinien sich in einem Punkt schneiden.
Wenn alle Pendelstäbe mit dem gleichen Winkel \(\alpha\) zur Vertikalen angeordnet sind und dieser Winkel bewirkt, dass die Projektionen ihrer Kräfte in horizontaler oder vertikaler Richtung parallele Wirkungslinien haben, ist die Determinante der Systemmatrix null. Je nach Anordnung der Stäbe und der Lasten kann dies für spezifische Winkel auftreten, insbesondere wenn alle Stäbe entweder senkrecht (keine horizontale Stützwirkung) oder horizontal (keine vertikale Stützwirkung) ausgerichtet sind. Eine allgemeine Bestimmung des kritischen Winkels \(\alpha\) erfordert jedoch eine detaillierte Analyse der Geometrie und der Systemmatrix.
c) Bestimmung der Stabkräfte
Um die Stabkräfte für beliebige Winkel \(\alpha\) zu berechnen, benötigt man die invertierte Systemmatrix und die Lastvektoren. Mit diesen Informationen kann man die Stabkräfte durch direkte Anwendung des Gleichgewichts lösen. Bei einem speziellen Winkel von \(\alpha = \frac{\pi}{2}\), sind die Pendelstäbe vertikal ausgerichtet, was typischerweise die Berechnung vereinfacht, da keine horizontalen Komponenten der Stabkräfte vorhanden sind. Ohne die genaue Systemmatrix und Lastvektoren kann ich die spezifische Lösung hier nicht darstellen.
d) Um die Stabkräfte numerisch mit MATLAB zu berechnen, benötigt man zuerst die Systemmatrix \(A\) und den Lastvektor \(b\). Dann würde man MATLAB's Backslash-Operator (\) verwenden, um das lineare Gleichungssystem \(Ax = b\) zu lösen, wobei \(x\) der Vektor der unbekannten Stabkräfte ist:
matlab
% Annahme einer systematischen Matrix A und eines Lastvektors b
A = ...; % Systemmatrix
b = ...; % Lastvektor
x = A\b; % Lösen des linearen Systems
disp(x); % Ausgabe der Lösung
Für die genauen Werte von \(A\) und \(b\) muss man die Gleichgewichtsbedingungen basierend auf der spezifischen Anordnung der Stäbe und Lasten aufstellen.
