Formelbildung mittels Integral. Geben Sie eine Formel für den Ort x des Teilchens zum Zeitpunkt t an ?

Question

Hi Leute,

undzwar gehts um folgende Aufgabe.
Ein Teilchen bewegt sich mit konstanter Beschleunigung a. Geben Sie eine Formel für den Ort x des Teilchens zum Zeitpunkt t an. Gegeben sind die Anfangsposition x0 und Anfangsgeschweindigkeit v0 zum Zeitpunkt t = 0.

Laut der Beispielaufgabe aus dem Tipler Kapitel Integralrechnung soll hier erstmal eine Funktion v von t angegeben werden indem mal a über t integriert. Anschließend soll dann nach der Integration von a über t noch eine Integration um x als Funktion von t angegeben werden, worüber man von v über t integrieren soll.

Ich sehe aus der Aufgabenstellung nicht mal ein Integral. Vielleicht kann mir jemand beim Textverständniss helfen.

VG :)

Answer 1

Hallo

 die Definition der Beschleunigung ist a=dv/dt=v'

die Definition der Momentangeschwindgkeit ist v=ds/dt=s'

mit a=konst und v'=a folgt v= ∫₀^t a dt=a*t+v(0)

mit s'=v folgt s= ∫₀^t v(t)dt= ∫₀^t (a*t+v(0)) dt =a/2*t^2+v(0)*t+s(0)

ich hab den Weg s genannt, in deinem Text ist es wohl x.

wenn von Ableitungen die Rede ist, ist die Umkehrung, also Integral natürlich auch immer mit dabei.

Gruß lul

Comments

Vielleicht könntest du mir ab dem mittleren Teil behilflich sein. Da verstehe ich deinen Rechenweg nicht so ganz.

Also was ich jetzt durch dein Kommentar weiss ist, dass a = dv/dt = v' ist

Dann anschließend ist v = ds/dt = s'

und genau ab hier verstehe ich es nicht:
a = konst ist was liegt wahrscheinlich an der Integrationsvariable dt, dann v' = a ist mir auch schlüssig und dann kommt ein bestimmtes Integral mit den Grenzen 0 bis t für a nach t ist = at + v(0), woher kommt v(0) ? ich hätte C gesagt da hier keine Grenzen angegeben sind, sollte es doch ein unbestimmtes Integral sein oder ?  Deine Integrationskonstante ist v(0), vielleicht könntest du mir das erklären.

Liegt es vielleicht daran das links neben dem Integralzeichen v steht ?

Wenn ja warum ist v von 0 also warum nicht + v sondern v(0)

VG :)

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richtig, du kannt v(t) als unbestimmtes Integral schreiben, dann hast du v(t)=a*t+C. allerdings kann man damit nichts anfangen, wenn man nicht zu irgendeinem Zeitpunkt t_0 v(t_0) kennt. meist nimmt man an dass man v(0) kennt, und hat dann durch einsetzen  von t=0 C=v(0) einfach +v hinzuschreiben ist nicht sehr sinnvoll, denn mit v kürzt man nur v(t) ab.

warum du a=dv/dt verstehst, aber die Definition der Geschwindigkeit v(t)=dx(t)/dt nicht,  versteh ich nicht. Wie ist für dich v(t), die Momentangeschwindigkeit definiert? Wenn du die Definition kennst, und v(t)

dann muss doch klar sein, das x(t)=∫v(t) dt ist? und v(t)=a*t+C kennst du. also musst du um x(t) zu finden integriern und hast a/2*t^2+C*t+C2, wieder C2 bestimmen, indem man x zur Zeit t=0 also x(0) einsetzt.

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Ich meinte es ja auf das Differenzial angegeben.

Die Momentangeschwindigkeit müsste ich passen aber wenn ich sage a = dv/dt = v' dann macht es im nächsten Schritt Sinn. Deswegen bin ich davon ausgegangen das du es einfach gleichgesetzt hast ohne einen Hintergrund. Aber anscheinend ist wie du beschrieben hast die Momentangeschwindigkeit dort. Dann muss ich mir das noch genauer anschauen.

VG :)

Answer 2

x ( t ) = 1/2 * a * t^2  +  v0 * t
Weg aus der beschleunigten Bewegung plus
Weg aus der vorhandenen Geschwindigkeit.

Beispiel : freier Fall plus Anfangsgeschwindigkeit

v ( t ) = a * t + v0
Weg
∫ v ( t ) dt = ∫ a * t + v0 dt = 1/2 * a * t^2  +  v0 * t

Comments

Bei dir fehlt aber noch eine Konstante.

VG :)

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beschleuinigte Bewegung
s ( t ) = 1/2 * a * t^2
Geschwindigkeit v = s ´ ( t ) ( 1. Ableitung )
s ´( t ) = v ( t ) = a * t
Beschleunigung  ( 2.Ableitung )
v ´( t ) = a ( const )

Aufleitung umgekehrt
a = const
v ( t ) = ∫ a dt = a * t
s ( t ) = ∫ v dt = ∫ a * t dt = 1/2 * a * t^2

Und noch ein Bild dazu

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Da fehlt noch ein + konst, da es ja in dem unbestimmten Integral mit drin ist.

Also laut Lösung soll da raus kommen:

x = x0 + v0t + (1/2)*at^2 da fehlt also noch eine Konstante x0 oder wie lul schon richtig geschrieben hat s(0).

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Die in der Frage erwähnte Anfangsposition x0
hatte ich glatt übersehen.
x ( t ) = x0 + v0 * t + 1/2 * a * t^2

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Kein Problem und Danke trotzdem.

VG :)