Antwort mit KI erzeugt
Berechnung der Arbeit:
Zuerst bestimmen wir den Verschiebungsvektor \(\vec{s} = \vec{P2} - \vec{P1}\). Gegeben sind:
\(
\vec{P1} = (1, 20, 3) \, \text{m}, \quad \vec{P2} = (4, 2, -1) \, \text{m}
\)
Daraus folgt:
\(
\vec{s} = \vec{P2} - \vec{P1} = (4 - 1, 2 - 20, -1 - 3) = (3, -18, -4) \, \text{m}
\)
Die Arbeit \(W\) wird durch das Skalarprodukt der Kraft \(\vec{F}\) und des Verschiebungsvektors \(\vec{s}\) berechnet:
\(
W = \vec{F} \cdot \vec{s}
\)
Mit:
\(
\vec{F} = (10, -4, -2) \, \text{N}
\)
folgt:
\(
W = (10, -4, -2) \cdot (3, -18, -4) = 10 \cdot 3 + (-4) \cdot (-18) + (-2) \cdot (-4) = 30 + 72 + 8 = 110 \, \text{J}
\)
Die Arbeit, die die Kraft leistet, beträgt also \(110 \, \text{J}\).
Berechnung des Winkels zwischen Kraft und Verschiebungsvektor:
Der Winkel \(\theta\) zwischen der Kraft \(\vec{F}\) und dem Verschiebungsvektor \(\vec{s}\) kann mit der Formel für das Skalarprodukt und den Beträgen der Vektoren berechnet werden:
\(
\cos(\theta) = \frac{\vec{F} \cdot \vec{s}}{|\vec{F}| \cdot |\vec{s}|}
\)
wir haben bereits \(\vec{F} \cdot \vec{s} = 110 \, \text{J}\) berechnet.
Die Beträge von \(\vec{F}\) und \(\vec{s}\) sind:
\(
|\vec{F}| = \sqrt{10^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{100 + 16 + 4} = \sqrt{120}
\)
\(
|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + (-18)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 324 + 16} = \sqrt{349}
\)
Damit:
\(
\cos(\theta) = \frac{110}{\sqrt{120} \cdot \sqrt{349}}
\)
\(
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{110}{\sqrt{120} \cdot \sqrt{349}}\right)
\)
Wir berechnen:
\(
\theta = \cos^{-1}\left(\frac{110}{\sqrt{120} \cdot \sqrt{349}}\right) \approx \cos^{-1}\left(\frac{110}{10.954451 \cdot 18.681542}\right) \approx \cos^{-1}(0.5641)
\)
\(
\theta \approx \cos^{-1}(0.5641) \approx 55.77^{\circ}
\)
Der Winkel, den die Kraft mit dem Verschiebungsvektor bildet, beträgt ungefähr \(55.77^{\circ}\).
