Berechnung der Momentangeschwindigkeit der Schockwelle einer atomaren Explosion

Question

Hallo!

Folgendes Beispiel:

Die Schockwelle einer atomaren Explosion breite sich annähernd nach der Gleichung s(t) = 1,6t² + 3,2t aus, wobei s(t) die Entfernung (in km) vom Explosionszentrum nach t Sekunden ist. 

Berechnen sie die (momentane) Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schockwelle zu den Zeitpunkten 2, 4, 6, 8 und 10.

Die Durchschnittsgeschwindigkeit kann ich berechnen. Nun brauche ich die Ausbreitungsgeschwindigkeit zur Sekunde 2, 4, 6 und 8.
Wie ich mich erinnern kann muss ich mit dem Limes rechnen.
Wie mache ich das? Geht das mit Taschenrechner, oder auch so?

Danke und liebe Grüße
 

Answer 1

Vor zwei Tagen hattest du bzgl. derselben Aufgabe nach der Durchschnittsgeschwindigkeit der Schockwelle in dem Zeitintervall [ t1 ; t2 ] = [ 0 , 10 ] gefragt. Die Lösung war:

v = ( s ( t2 ) - s ( t1 ) ) / ( t2 - t1 )

Diesen Quotienten bezeichnet man als "Differenzenquotienten". Er gibt die Steigung derjenigen Geraden an, die durch die Punkte ( t1 | s ( t1 ) ) und ( t2 | s ( t2 ) ) der Wegfunktion s ( t ) läuft. Diese Gerade nennt man auch Sekante. Die Steigung der Sekanten aber ist gerade gleich der mittleren Steigung des Graphen von s ( t ) in dem betrachteten Intervall und somit gleich der gesuchten Durchschnittsgeschwindigkeit.

Um nun die Momentangeschwindigkeit zu einem Zeitpunkt t1 zu berechnen, bildet man ebenfalls wieder diesen Differenzenquotienten und lässt dann t2 immer näher an t1 heranrücken. Dadurch nähert sich die Sekante durch die Punkte ( t1 | s( t1 ) ) und ( t2 | s ( t2 ) ) des Graphen von s ( t ) immer mehr der Tangenten an diesen Graphen im Punkt ( t1 | s ( t1 ) ) an und wird im Grenzübergang lim [ t2 -> t1 ] zu dieser Tangenten. Deren Steigung ist dann gleich der momentanen Geschwindigkeit v_mom ( t1 ) zum Zeitpunkt t1.

Man bildet also den Differenzenquotienten wie oben und lässt dann t2 gegen t1 laufen. Mathematisch formuliert sieht das dann so aus:

v_mom ( t1 ) = lim [ t2 -> t1 ] ( s ( t2 ) - s ( t1 ) ) / ( t2 - t1 )  

Dieser Quotient mit dem Limes davor heißt Differenzialquotient.

Setzt man hier nun den Funktionsterm von s ( t ) ein, so erhält man:

v_mom ( t1 ) = lim [ t2 -> t1 ] ( (1,6 t2 ² + 3,2 t2 ) - ( 1,6 t1 ² + 3,2 t1 ) ) / ( t2 - t1 )

[1,6 und 3,2 ausklammern:]

= lim [ t2 -> t1 ] ( 1,6 ( t2 ² - t1 ² ) + 3,2 ( t2 - t1 ) ) / ( t2 - t1 ) 

[ t2 ² - t1 ² kann mit Hilfe der dritten binomischen Formel geschrieben werden als ( t2 + t1 ) * ( t2 - t1 ) , also:]

= lim [ t2 -> t1 ] ( 1,6 ( t2 + t1 ) ( t2 - t1 ) + 3,2 ( t2 - t1 ) ) / ( t2 - t1 )

[Diesen Bruch kann man nun mit t2 - t1 kürzen:]

= lim [ t2 -> t1 ] ( 1,6 ( t2 + t1 ) + 3,2

[und nun kann man den Grenzübergang t2 -> t1 durchführen, indem man t2 durch t1 ersetzt:]

= 1,6 ( t1 + t1 ) + 3,2

= 1,6 * 2 * t1 + 3,2

= 3,2 * t1 + 3,2  

Der fett gesetzte Term, den man auch noch zu 3,2 * ( t1 + 1 ) zusammenfassen könnte, heißt auch
Ableitung von s ( t ) an der Stelle t1 oder kurz: s ' ( t1 ).

Für t1 kann man nun die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte einsetzen und erhält dadurch jeweils die Momentangeschwindigkeiten v_mom an diesen Stellen.

An der Stelle t1 = 2 etwa erhält man:

v_mom ( 2 ) = s ' ( 2 ) = 3,2 * 2 + 3,2 = 9,6 km/s

und an der Stelle t1 = 4

v_mom ( 4 ) = s ' ( 4 ) = 3,2 * 4 + 3,2 = 16 km/s

Die übrigen Werte kannst du nun sicher selbst berechnen.

 

  

Answer 2

Hi,

also du nimmst:

v(t) = d/dt s(t) = lim(Δt-->0) (s(t + Δt) - s(t)) / Δt und setzt ein:

v(t) = lim (1,6(t+Δt)^2 + 3,2 (t+Δt) - 1,6 t^2 - 3,2 t) / Δt

= lim (1,6 (2 t Δt + (Δt)^2) + 3,2 Δt) / Δt

= lim 1,6*2 t + 1,6 Δt + 3,2

= 3,2 t + 3,2.

Dies ist die sogenannte "Ableitung" der Funktion s(t). v(t) ist ja die Geschwindigkeit und gibt an, wie sehr sich der Weg s(t) mit der Zeit ändert.

Du musst die Geschwindigkeitsfunktion v(t) an deinen gegebenen Stellen (2, 4...) auswerten, z.B. v(2) = ....

MfG

Mister