Freie Energie in Abhängigkeit von T und V (Gas)

Question

Folgende Aufgabe bringt uns Kopfzerbrechen...

$$ E(S,V) = 3\left(\frac{S^2}{4V}\right)^{\frac{1}{3}} $$
Berechnen Sie $$F(T,V)$$

Wir kommen auf 

$$ dF = -p\,dV-S\,dT$$

wissen aber nicht wie wir das jetzt "integrieren" müssen.

Kann uns jemand helfen?

Answer 1

Hallo,

es ist

$$ F=U-TS $$

Nun hast du U in Abhängigkeit der natürlichen Variablen S und V gegeben, daher ist

$$ T(S,V)=\frac{\partial U}{\partial S}=(\frac{2}{SV})^{1/3}\\\to\\S(T,V)=\frac{2}{T^3 V} $$

Nun kannst du in F   S durch T und V ersetzen:

$$ F=U-TS\\=3(\frac{S^2}{4V})^{1/3}-TS\\=3(\frac{4}{4V^3T^6})^{1/3}-\frac{2}{T^2 V}\\=\frac{3}{VT^2}-\frac{2}{T^2 V}=\frac{1}{VT^2} $$

PS: F ist die freie Energie