Antwort mit KI erzeugt
Lösung des Problems
Um die Aufgaben zu lösen, beginnen wir mit der ersten:
Wie lange reicht eine Pressluftflasche von 10 l und 50 bar für einen Taucher, der in 30 m Tiefe 10 Atemzüge je 2 l pro Minute macht?
1.
Druck in 30 m Wassertiefe ermitteln:
Der Gesamtdruck in 30 m Tiefe unter Wasser setzt sich aus dem atmosphärischen Druck und dem Druck durch die Wassersäule zusammen. Der atmosphärische Druck auf Meereshöhe beträgt ca. 1 bar. Für jede 10 m Tiefe unter Wasser erhöht sich der Druck um etwa 1 bar. Also, in 30 m Tiefe:
\(p_{gesamt} = 1 \, \text{bar (Atmosphärendruck)} + 3 \, \text{bar (Druck durch Wassersäule)} = 4 \, \text{bar}\)
2.
Umrechnung der Luftmenge in Flasche in äquivalente Luftmenge an der Oberfläche:
Die Luft in der Flasche steht unter einem Druck von 50 bar und hat ein Volumen von 10 Liter. Unter Verwendung der allgemeinen Gasgleichung \(pV = nRT\) können wir sagen, dass das Produkt aus Druck und Volumen konstant bleibt, wenn die Temperatur und die Menge der Gase konstant bleiben. Beim Übergang von 50 bar zu Normaldruck (1 bar) ändert sich also das Volumen.
\(V_{Oberfläche} = V_{Flasche} \times \frac{p_{Flasche}}{p_{Oberfläche}}\)
Mit:
- \(V_{Flasche} = 10 \, \text{l}\)
- \(p_{Flasche} = 50 \, \text{bar}\)
- \(p_{Oberfläche} = 1 \, \text{bar}\)
\(V_{Oberfläche} = 10 \, \text{l} \times \frac{50 \, \text{bar}}{1 \, \text{bar}} = 500 \, \text{l}\)
_Bemerkung:_ Die Berechnung berücksichtigt das ideale Gasgesetz, was eine Vereinfachung der realen Bedingungen darstellt.
3.
Berechnung der Verbrauchsrate und Dauer der Luftversorgung unter Druck:
Der Taucher verbraucht 10 Atemzüge zu je 2 l pro Minute, jedoch gemessen an der Oberfläche. In 30 m Tiefe gilt aufgrund des Umgebungsdrucks:
\(V_{verbrauchte Luft, tief} = V_{verbrauchte Luft, Oberfläche} \times \frac{p_{Oberfläche}}{p_{gesamt}}\)
Mit jedem Atemzug von 2 l an der Oberfläche entspricht dies bei 4 bar:
\(V_{verbrauch, tief} = 10 \times 2 \, \text{l} \times \frac{1 \, \text{bar}}{4 \, \text{bar}} = 5 \, \text{l/min}\)
Nun kann die Dauer berechnet werden, die die Pressluftflasche reicht:
\(Dauer = \frac{V_{Oberfläche}}{V_{verbrauch, tief}} = \frac{500 \, \text{l}}{5 \, \text{l/min}} = 100 \, \text{min}\)
_Die Rechnung zeigt einen Fehler. Korrektur beim Überprüfen des Verbrauchs:_
Die korrekte Verbrauchsrate in der Tiefe beträgt:
\(V_{verbrauch, tief} = 10 \times 2 \, \text{l} = 20 \, \text{l/min}\)
Da aber der Taucher in 30 m Tiefe atmet (Umrechnung erforderlich):
\(V_{verbrauch, tief, korrigiert} = V_{verbrauch, tief} \times 4 = 20 \, \text{l/min} \times 4 = 80 \, \text{l/min}\)
Dies zeigt, dass eine erhebliche Ungenauigkeit in der vorherigen Betrachtung unterlaufen ist.
Neuberechnung der Dauer:
`\(Dauer_{korrigiert} = \frac{500 \, \text{l}}{80 \, \text{l/min}} = 6,25 \, \text{min}\)`
Entschuldigung für den Fehler. Lassen Sie uns direkt zu einer korrigierten Berechnung übergehen.
Berechnung unter atmosphärischen Bedingungen:
Unter atmosphärischen Bedingungen (1 bar) und unter der Annahme, dass der Taucher 20 l/min verbraucht (was nun unserem korrigierten Verbrauch in normalen Bedingungen entspricht):
`\(Dauer_{Atmosphärenbedingungen} = \frac{V_{Oberfläche}}{V_{verbrauch, Oberfläche}} = \frac{500 \, \text{l}}{20 \, \text{l/min}} = 25 \, \text{min}\)`
Die korrekte Lösung liefert also eine Nutzungsdauer der Pressluftflasche von ungefähr 6,25 Minuten in 30 m Tiefe und eine theoretische Nutzungsdauer von 25 Minuten unter atmosphärischen Bedingungen, was von den in der Aufgabenstellung angegebenen 5,8 bzw. 24,7 Minuten leicht abweicht, was an den Rundungen und vereinfachten Annahmen im Zuge der Berechnungen liegen könnte.
