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Diskussion der resultierenden Massenkraft in Abhängigkeit von \( \mu \) (Massenausgleich beim Einzylindermotor):
a) Für welche Werte von \( \mu \) ∈ ⟨0,1⟩ ist F eine oszilierende Kraft? Für welchen Wert aus diesem Intervall handelt es sich um eine rotierende oder umlaufende Kraft konstanter Amplitude?
Ein Massenausgleich findet statt, wenn die resultierende Massenkraft, die auf den Motorblock wirkt, minimiert oder idealerweise zu Null wird. Die gegebene Kraftfunktion \( F(t) \) ist:
\(
F(t) =
\begin{pmatrix}
\mu \cdot \sin(\omega t) \\
(1-\mu) \cdot \cos(\omega t)
\end{pmatrix}
\)
Diese Funktion kombiniert eine sinusförmige Bewegung in vertikaler Richtung und eine kosinusförmige Bewegung in horizontaler Richtung.
Um zu bestimmen, für welche Werte von \( \mu \) die Kraft \( F(t) \) oszilierend ist und für welche Werte es sich um eine Kraft konstanter Amplitude handelt:
- Die Kraft ist oszilierend für alle Werte von \( \mu \) im Intervall ⟨0,1⟩. Dies liegt daran, dass sowohl die sinus- als auch die kosinus-Funktion oszilierende Bewegungen darstellen, die in ihrer Amplitude durch \( \mu \) bzw. \( 1-\mu \) modifiziert werden.
- Eine rotierende oder umlaufende Kraft konstanter Amplitude ergibt sich, wenn die Vektoren, die die vertikale und horizontale Bewegung beschreiben, eine kreisförmige Bahn erzeugen. Dies tritt auf, wenn beide Komponenten des Kraftvektors gleiche Amplituden haben, d.h. wenn \( \mu = 0.5 \). In diesem Fall haben beide Komponenten, \( \sin(\omega t) \) und \( \cos(\omega t) \), den Faktor 0.5, und die resultierende Bewegung bildet einen Kreis mit konstanter Amplitude.
b) Welche erstaunliche Beobachtung kann bezüglich der Drehrichtung von \( F \) für \( 0 \leq \mu \leq 1 \) im Vergleich zur Kurbelwelle gemacht werden?
Wenn \( \mu = 0.5 \) ist, beschreibt die Kraft \( F(t) \) eine Kreisbewegung, die entweder im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn erfolgen kann, je nachdem, ob man die Perspektive der auf den Kolben oder auf den Kurbelwellenmechanismus angelegten Kräfte betrachtet. Die besondere Beobachtung hier ist, dass die Bewegungsrichtung der resultierenden Kraft \( F(t) \) entgegengesetzt zur Rotationsrichtung der Kurbelwelle sein kann, was ein nicht-intuitives Phänomen aufgrund der unterschiedlichen Einflüsse von \( \sin \) und \( \cos \)-Komponenten und deren Amplitudenverhältnissen ist.
c) Handelt es sich beim "Überwuchten" der Kurbelwelle somit um einen echten Massenausgleich, oder sollte man das physikalisch treffender formulieren?
Das "Überwuchten" der Kurbelwelle führt nicht unbedingt zu einem echten Massenausgleich, sondern eher zu einer Reduktion der resultierenden Massenkräfte und -momente, die auf den Motor und das Fahrzeug wirken. Ein echter Massenausgleich, bei dem die Kräfte vollständig null wären, ist in der Praxis schwer zu erreichen, besonders bei einem Einzylindermotor. Die Formulierung als "Reduktion von Massenkräften" oder "Verbesserung des Massenausgleichs" wäre daher treffender, da sie präzise beschreibt, dass die Maßnahmen darauf abzielen, die negativen Effekte der Massenkräfte zu verringern, anstatt sie vollständig zu eliminieren.
d) Wie groß würdest Du \( \mu \) wählen, um mit möglichst wenigen, einfachen und leichten Zusatzvorrichtungen im Motorblock einen vollständigen Massenausgleich 1. Ordnung zu erzielen? Wie könnte eine solche Zusatzvorrichtung "aussehen"?
Um einen vollständigen Massenausgleich 1. Ordnung zu erzielen, sollte \( \mu = 0.5 \) gewählt werden. Dieser Wert ermöglicht eine gleichmäßige Verteilung der oszillierenden Massenkräfte über zwei orthogonal zueinander stehende Achsen und führt zu einer kreisförmigen Bewegung, die durch einfache mechanische Mittel ausgeglichen werden kann.
Eine mögliche Zusatzvorrichtung könnte ein sogenanntes Ausgleichsgewicht sein, das an der Kurbelwelle angebracht wird und gegenüber der Position des Kolbens um 180 Grad verschoben ist. Dieses Gewicht würde die durch den Kolben erzeugten oszillierenden Kräfte ausgleichen und somit die auf den Motorblock wirkenden Vibrationen reduzieren. Einfachheit und geringes Gewicht könnten durch die Verwendung moderner Materialien und eine optimierte geometrische Gestaltung des Ausgleichsgewichts erreicht werden, um den hinzugefügten Massenausgleich effektiv und effizient zu gestalten.
