Hallo, ich suche die Stammfkt von
cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x))
bzw das integral von 0 bis 2pi
int_0^{2pi} cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x)) dx
denn ich versuche gerade die Fläche A auf einer Kugel mit dem Radius R , die von einem Strahl, der sich elliptisch öffnet, "bestrahlt" wird auszurechnen.
Ich habe zunächst den Spezialfall für einen Kreis betrachtet, also dass die Halbachsen a,b gleich sind (bzw die dazugehörigen Winkel alpha, beta, denn die Länge der Halbachsen hängt ja von der Entfernung zum Kugelmittelpunkt ab.)
also alpha=beta
Hier konnte ich ganz einfach das Integral in Kugelkoordinaten (r,theta,phi) lösen:
A= int_0^{2pi} d phi int_0^inf dr int_0^alpha d theta ( r^2 * sin (theta) * delta(r-R))
=2piR^2[-cos (theta)]_(theta=0)^{theta=alpha}
=2piR^2(1-cos(alpha))
(r^2sin phi ist die Jacobideterminante und delta(r-R) um die Teilfläche auf der Kugel mit Radius R zu erhalten)
Nun wird bei einer Ellipse ja ebenfalls von 0 bis 2pi über phi integriert und R beim Integral rausgepickt, da ich mich nur für die Fläche auf der Kugel interessiere, aber die Obere Grenze vom Integral über theta ist nun eine Funktion u( phi).
Für diese Fkt muss gelten
u(phi) = alpha, falls alpha = beta (spezialfall Kreis)
u(0)= alpha
u(pi/2) = beta
u(pi) = alpha
u(3pi/2)= beta usw.
daher habe ich mich für
u(phi) = alpha*cos^2(phi) + beta* sin^2(phi)
entschieden, da diese Fkt die Anforderungen erfüllt und gleichzeitig irgendwie intuitiv ist, da man nach dem Integrieren wahrscheinlich alpha und beta beliebig vertauschen kann.
Die Fläche hier wäre demnach:
A= int_0^{2pi} d phi int_0^inf dr int_0^u(phi)d theta ( r^2 * sin (theta) * delta(r-R))
=R^2 int_0^{2pi} d phi [-cos(theta)]_0^u(phi)
=2piR^2- R^2* int_0^{2pi} dphi (cos(alpha*cos^2(phi)+beta*sin^2(phi))
Ich weiß nun aber nicht, wie ich ein Integral der Form
int_0^{2pi} cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x)) dx
lösen soll.
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen...