Raumwinkel, elliptischer Strahl

Question

Hallo, ich suche die Stammfkt von

cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x))

bzw das integral von 0 bis 2pi

int_0^{2pi} cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x)) dx

denn ich versuche gerade die Fläche A auf einer Kugel mit dem Radius R , die von einem Strahl, der sich elliptisch öffnet, "bestrahlt" wird auszurechnen.

Ich habe zunächst den Spezialfall für einen Kreis betrachtet, also dass die Halbachsen a,b gleich sind (bzw die dazugehörigen Winkel alpha, beta, denn die Länge der Halbachsen hängt ja von der Entfernung zum Kugelmittelpunkt ab.)

also alpha=beta
Hier konnte ich ganz einfach das Integral in Kugelkoordinaten (r,theta,phi) lösen:
A= int_0^{2pi} d phi int_0^inf dr int_0^alpha d theta ( r^2 * sin (theta) * delta(r-R))
=2piR^2[-cos (theta)]_(theta=0)^{theta=alpha}
=2piR^2(1-cos(alpha))

(r^2sin phi ist die Jacobideterminante und delta(r-R) um die Teilfläche auf der Kugel mit Radius R zu erhalten)

Nun wird bei einer Ellipse ja ebenfalls von 0 bis 2pi über phi integriert und R beim Integral rausgepickt, da ich mich nur für die Fläche auf der Kugel interessiere, aber die Obere Grenze vom Integral über theta ist nun eine Funktion u( phi).

Für diese Fkt muss gelten
u(phi) = alpha, falls alpha = beta (spezialfall Kreis)
u(0)= alpha
u(pi/2) = beta
u(pi) = alpha 
u(3pi/2)= beta usw.

daher habe ich mich für 
u(phi) = alpha*cos^2(phi) + beta* sin^2(phi) 
entschieden, da diese Fkt die Anforderungen erfüllt und gleichzeitig irgendwie intuitiv ist, da man nach dem Integrieren wahrscheinlich alpha und beta beliebig vertauschen kann.
Die Fläche hier wäre demnach:
A= int_0^{2pi} d phi int_0^inf dr int_0^u(phi)d theta ( r^2 * sin (theta) * delta(r-R))
=R^2 int_0^{2pi} d phi [-cos(theta)]_0^u(phi)
=2piR^2- R^2* int_0^{2pi} dphi (cos(alpha*cos^2(phi)+beta*sin^2(phi))

Ich weiß nun aber nicht, wie ich ein Integral der Form

int_0^{2pi} cos (a*cos^2 (x)+ b*sin^2(x)) dx

lösen soll.

Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen...

Answer 1

int_0^2pi cos (a*cos² (x)+ b*sin²(x)) dx kann man folgendermaßen durchführen:

theta(x)=a*cos² (x)+ b*sin²(x) 
= a * cos^2(x) + b*(1-cos^2(x))
=(a-b)cos^2(x) + b
=(a-b) 1/2 (cos(2x) +1) + b
=1/2(a-b)cos(2x) + b +1/2a -1/2b
=(a-b)/2 cos(2x)+ (a+b)/2

damit ist int_0^2pi theta(x) dx = 2pi(1-cos((a+b)/2)*J_0(|(a-b|/2)

wobei J_0 die Besselsche Funktion 1. Gattung ist.

Damit hast du im Spezialfall a=b:

A= 2piR^2(1-cos(2a/2)J_0(|a-a|/2)
=2piR^2(1-cos(a)J_0(0))

=2piR^2(1-cos(a))  

Also wie gewünscht die Formel für deinen Kreis.

außerdem ist es egal ob wie du deinen kleinen bzw großen Halbwinkel wählst, da im cosinus a/2+b/2 = b/2+a/2 und in der Besselschen Fkt |a-b|/2=|b-a|/2 steht. Man kann sie also beliebig vertauschen.

Comments

In der Tat ist 

cos(a*cos^2(x)+b*sin^2(x))=[cos((a-b)*cos(2 x)/2+(a+b)/2)]   -> sehr gut!

(im Text fehlte zwar der Einstieg der cos-Funktion, aber Anfang & Ende stimmen) 

Dies kann man wirklich integrieren:

integrate [cos(u*cos(2 x)+v)]dx,x=0...2Pi = 2 Pi BesselJ(0, abs(u))*cos(v) also

integrate [cos((a-b)/2*cos(2 x)+(a+b)/2)]dx,x=0...2Pi = 2 Pi BesselJ(0, abs((a-b)/2))*cos((a+b)/2)

und nicht 2 Pi BesselJ(0, abs((a-b)/2))*[1-cos((a+b)/2)]  ???

Entweder WolframAlpha oder Ihre Funktion stimmt nicht.

Interessant: ohne Integrationsgrenze kommt kein Ergebnis heraus... ???

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Test:

integrate [cos((Pi-e)/2*cos(2 x)+(Pi+e)/2)]dx,x=0...2Pi = -6.07437...

2 Pi BesselJ(0, abs((Pi-e)/2))*cos((Pi+e)/2) = -6.074366949924023751010042524266...

also stimmt der Term ohne das "1-" -> super!

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Hoppla, Sie haben natürlich Recht, int cos(theta(x) dx = cos((a+b)/2)*J_0(|(a-b|/2

 2pi(1-cos((a+b)/2)*J_0(|(a-b|/2) =Ω = A/R^2 Das ist der Raumwinkel. 

da steckt das integral zwar mit drin ist aber natürlich nicht das gleiche

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Vielen Dank bei der Beantwortung einer solch komplexen Frage :)

Answer 2

In der Tat gibt es bereits Probleme beim Integrieren von cos(a*cos(x)^2) dx . 

Selbst die Wandlung in die komplexe exp-Funktion bringt uns nicht weiter: 

integrate 1/2 e^{-1/4 i a (e^{-i x}+e^{i x})^2}+1/2 e^{1/4 i a (e^{-i x}+e^{i x})^2}dx  

Wenn Du a und b angibst, kann man numerisch integrieren. 

Es gibt aber auch noch andere Wege wie dieser hier: 

http://www.gerdlamprecht.de/Bilder/OberflaechenIntegralZylinderDurchKugel.png

(der Zylinder soll der Lichtstrahl sein)

Comments

Kann man das nicht auch mit Taylor annähern?

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Er meinte einen Strahl, der sich aufweitet, also einen kegel mit elliptischer Grundfläche, nicht einen Zylinder mit elliptischer Grundfläche

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Natürlich funktioniert Reihenentwicklung immer:

$$\operatorname { cos } ^ { 2 } ( x ) + b \operatorname { sin } ^ { 2 } ( x ) ) = \sum _ { k = 0 } ^ { \infty } \frac { ( - 1 ) ^ { k } ( a \operatorname { cos } ^ { 2 } ( x ) + b \operatorname { sin } ^ { 2 } ( x ) ) ^ { 2 k } } { ( 2 k ) ! }$$

Jedes einzelne Glied kann Integriert werden...

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Das sind nur 2 konst. Parameter mehr: 

Selbe Algorithmus: Einsetzen fertig. Da es nur eine Fläche ist, ist die Quelle (Lichtpunkt) irrelevant.

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Vielen Dank bei der Beantwortung einer solch komplexen Frage :)