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Luftwiderstand einer Rakete
Um den Luftwiderstand einer Rakete beim Aufstieg zu berechnen, sind verschiedene Parameter und Annahmen erforderlich. Wir werden hier den Fokus auf die Stirnfläche der Rakete, die Anwendung der barometrischen Höhenformel zur Ermittlung des Luftdrucks in verschiedenen Höhen und auf die Ermittlung des \(c_w\)-Werts (Widerstandsbeiwerts) legen.
Stirnfläche der Rakete (Projektionsfläche)
Die Stirnfläche einer Rakete ist die Fläche, welche die Rakete senkrecht zur Strömungsrichtung der Luft bietet. Diese Fläche wird auch als Projektionsfläche bezeichnet, weil man sich vorstellen kann, dass sie durch den Schatten der Rakete, den sie bei direkter Beleuchtung senkrecht zur Strömungsrichtung wirft, definiert wird. Für zylindrische Raketenteile wäre die Stirnfläche einfach der Kreisabschnitt des Zylinders, also \(A = \pi r^2\), wobei \(r\) der Radius des Zylinders ist. Bei komplexeren Formen müsste die Gesamtfläche addiert oder berechnet werden, basierend auf den Geometrien der einzelnen Abschnitte.
Barometrische Höhenformel
Um den Luftdruck in verschiedenen Höhen zu ermitteln, kann die barometrische Höhenformel genutzt werden. Diese Formel erlaubt es, den Luftdruck auf einer bestimmten Höhe zu schätzen, ohne Integralrechnung anwenden zu müssen. Die grundlegende Form der Höhenformel lautet:
\( p(h) = p_0 \left(1 - \frac{L \cdot h}{T_0} \right)^{\frac{g \cdot M}{R \cdot L}} \)
Hierbei ist:
- \(p(h)\) der Luftdruck auf der Höhe \(h\),
- \(p_0\) der Luftdruck auf Meereshöhe (etwa 101325 Pa),
- \(L\) der Temperaturgradient in der Troposphäre (\(-0.0065\) K/m),
- \(h\) die Höhe in Metern über dem Meeresspiegel,
- \(T_0\) die Temperatur auf Meereshöhe (normiert auf 288.15 K),
- \(g\) die Erdbeschleunigung (\(9.80665 m/s^2\)),
- \(M\) die molare Masse der Erdatmosphäre (\(0.0289644\) kg/mol),
- \(R\) die universelle Gaskonstante (\(8.3144598\) J/(mol·K)).
Für unterschiedliche Höhen kann diese Formel angewendet werden, um den Luftdruck zu berechnen, der dann verwendet wird, um den Luftwiderstand zu schätzen.
Ermittlung des \(c_w\)-Werts
Der \(c_w\)-Wert (auch Widerstandsbeiwert genannt) einer Rakete ist schwer zu berechnen ohne detaillierte aerodynamische Studien und Tests. In der Grundlage ist der \(c_w\)-Wert ein Maß dafür, wie aerodynamisch ein Objekt ist. Raketen haben typischerweise einen eher niedrigen \(c_w\)-Wert, weil sie für optimale aerodynamische Effizienz entworfen werden. Ohne experimentelle Daten oder spezialisierte Simulationssoftware kann der \(c_w\)-Wert als Annahme von vergleichbaren Projekten oder durch Windkanaltests ermittelt werden.
Zusammenfassend kann die Berechnung des Luftwiderstands einer Rakete, abhängig von Höhe, Geschwindigkeit und aerodynamischer Form, durchgeführt werden, indem man die Stirnfläche kennt, den Luftdruck mit der barometrischen Höhenformel bei verschiedenen Höhen einschätzt und einen geeigneten \(c_w\)-Wert annimmt oder bestimmt. Die direkte Berechnung des Luftwiderstands ohne Integralrechnung ist auf einer sehr grundlegenden Ebene möglich, die Berechnung des \(c_w\)-Werts jedoch erfordert normalerweise empirische Daten oder spezialisierte aerodynamische Analysen.
